テニスラケットの定理

テニスラケットの定理あるいは中間軸の定理は、物体を放り投げるなどして、自由に回転させたとき、複雑な回転になる場合の理論です。

摩擦や重力を考えないときに、モノを動かす時の動かしにくさの程度を表す量が質量であるなら、モノを回転させるときの回転のしにくさを表すものが慣性モーメントテンソルと呼ばれるものです。テンソルというところが分かりにくいのですが、モノはいろいろな方向に回転させることができて、その方向によって回転のしにくさが、違うので、テンソルになります。

慣性モーメントテンソルは、対称テンソルなので、スペクトル分解ができます。慣性モーメントテンソルを$\mathbf{I}$ として、 $$ \mathbf{I}=I_1\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1+I_2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2+I_3\mathbf{u}_3\mathbf{u}_3$$

と展開します。ここで$I_1,I_2,I_3$は慣性モーメントテンソルの固有値で、$I_1>I_2>I_2$とします。 $ \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 $は、それぞれに対応する固有ベクトルです。

このうち、慣性モーメントテンソルの３つの固有値のうち、中間の値$I_2$に対応する固有ベクトル$ \mathbf{u}_2 $の周りで回転させると複雑な回転になります。これがテニスラケットの定理と呼ばれるものです。

以下、テニスラケットのデータ(https://www.thingiverse.com/thing:17704 )を使ってシミュレーションしました。

$ \mathbf{u}_1 $の周りで回転。

$ \mathbf{u}_2 $の周りで回転。

$ \mathbf{u}_3 $の周りで回転。

特にテニスラケットでなくても、慣性モーメントの固有値に関しての理論ですので、別の形状でも確認できます。

テニスラケットの定理に関連して、物体の自由回転に関しては厳密解あります。オイラーのコマの厳密解と呼ぶのでしょうか。あまり知られていないと、いうか、たぶん以下のpdfのようでよいと思います。(確認しようと思いつつ、いつまでも、できていません) 厳密解